Zbadaj bezwzględną zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos{n\pi}}{n}} \).
Rozwiązanie:

Zauważmy, że \( \cos{n\pi}=(-1)^n \), zatem \( \sum_{n=1}^{\infty}{\left|\frac{\cos{n\pi}}{n}\right|}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} \) jest szeregiem rozbieżnym, czyli \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos{n\pi}}{n}} \) nie jest bezwzględnie zbieżny.

Zbadaj zbieżnośc szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin{(n!)}}{n^2+1}} \).
Rozwiązanie:
Ponieważ szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin{(n!)}}{n^2+1}} \) ma wyrazy ujemne, gdyż funkcja \( \sin{x} \) przyjmuje wartości ujemne, więc badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}{\left|\frac{\sin{(n!)}}{n^2+1}\right|} \).
Wiemy, że szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\left|\frac{\sin{(n!)}}{n^2+1}\right|} \) ma wyrazy nieujemne bo \( \left|\frac{\sin{(n!)}}{n^2+1}\right|\geq 0 \), a zatem korzystamy z kryterium porównawczego

Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}} \) jest szeregiem harmonicznym zbieżnym, a zatem szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin{(n!)}}{n^2+1}} \) jest zbieżny bezwzględnie, czyli jest szeregiem zbieżnym.

Dla jakiej wartości parametru \( a \) szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+1}{3^n}(2a-1)^{3n}} \) jest zbieżny?
Rozwiązanie:
Ponieważ nie znamy wartości parametru \( a \) szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+1}{3^n}(2a-1)^{3n}} \) może mieć wyrazy ujemne, więc badamy zbieżność bezwzględną, czyli zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}{\left|\frac{n+1}{3^n}(2a-1)^{3n}\right|} \).
Ponieważ \( \left|\frac{n+1}{3^n}(2a-1)^{3n}\right|\geq 0 \), możemy skorzystać z kryterium Cauchy'ego. Liczymy odpowiednią granicę
\( \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{\frac{n+1}{3^n}\left|(2a-1)\right|^{3n}}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt[n]{n+1}}{3}\cdot |2a-1|^3}=\frac{|2a-1|^3}{3} \).
Zatem dla \( |2a-1|^3<3 \) szereg będzie zbieżny bezwzględnie, czyli dla \( a\in \left(\frac{1}{2}\left(1-\sqrt[3]{3}\right),\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{3}+1\right)\right) \) szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+1}{3^n}(2a-1)^{3n}} \) jest szeregiem zbieżnym.
Zbadajmy, czy szereg jest zbieżny dla \( |2a-1|=\sqrt[3]{3} \), czyli dla \( a=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt[3]{3}\right) \) lub \( a=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{3}+1\right) \).
Dla \( a=\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{3}+1\right) \) badany szereg ma postać \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+1}{3^n}\cdot 3^n} \) i jest rozbieżny, bo \( \lim_{n\to \infty}{(n+1)}=\infty \) i nie spełnia WK zbieżności szeregów.
Dla \( a=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt[3]{3}\right) \) badany szereg ma postać \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{n+1}{3^n}\cdot \left(-3\right)^n}=\sum_{n=1}^{\infty}{(n+1)(-1)^n} \) i jest rozbieżny, bo \( \lim_{n\to \infty}{(n+1)\cdot (-1)^n} \) nie istnieje i też nie spelnia WK zbieżności szeregów.

Zauważmy jeszcze, że dla \( a\in \left(-\infty,\frac{1}{2}\left(1-\sqrt[3]{3}\right)\right)\cup\left(\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{3}+1\right),+\infty\right) \) badany szereg jest rozbieżny, bo również nie spełnia WK zbieżności szeregów.

Zbadaj zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^ntg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}} \).
Rozwiąznie:
Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^ntg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}} \) jest szeregiem naprzemiennym, bo \( tg\frac{1}{n\sqrt{n}} \) przyjmuje wartości dodatnie. Zbadamy najpierw zbieżność bezwzględną szeregu, czyli zbieżność szeregu \( \sum_{n=1}^{\infty}{tg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}} \).
Ponieważ \( \frac{1}{n\sqrt{n}}\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \), a funkcja \( tg{x} \) ma w przedziale \( \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \) wartości dodatnie, więc szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{tg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}} \) ma wyrazy nieujemne. Możemy zatem skorzystać z kryterium porównawczego oraz nierówności \( tg{x}\leq 2x \), dla \( x\in\left(0,\frac{\pi}{4}\right) \).
Wiemy, że \( \frac{1}{n\sqrt{n}}\leq \frac{\pi}{4} \) dla \( n\geq 2 \), zatem \( tg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}\leq \frac{2}{n\sqrt{n}} \) dla \( n\geq 2 \).
Szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n\sqrt{n}}} \) jest szeregiem harmonicznym rzędu \( \frac{3}{2} \), czyli szeregiem zbieżnym, a zatem \( \sum_{n=1}^{\infty}{tg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}} \) też jest szeregiem zbieżnym.
Czyli szereg \( \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^ntg{\frac{1}{n\sqrt{n}}}} \) jest bezwzględnie zbieżny, zatem jest szeregiem zbieżnym.